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・平成29年度実施分：
・平成30年度実施分：
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すべて正より
相加相乗平均の関係から
(bcd)^(1/3)≦( (b+c+d)/3 = ) (4-a)/3
(acd)^(1/3)≦(4-b)/3
(abd)^(1/3)≦(4-c)/3
(abc)^(1/3)≦(4-d)/3
各等号成立は
b=c=d
a=c=d
a=b=d
a=b=c
各両辺正より3乗して全て足しても
大小関係は変わらず
等号成立条件はa=b=c=d=1
で統合される。
従って不等式
K≦(1/27)×{(4-a)^3 + (4-b)^3 + (4-c)^3 + (4-d)^3}
が導かれる。
等号成立はa=b=c=d=1なので
代入すると
K≦(27/27)×4=4
最大値は4である。
Kについて得た不等式において,Kをf,右辺をgとします.
このとき,f≦gは｢関数として真にfがgよりも小さい(等号も含む)｣ということを表し,その等号成立はfとgが一致する点を示します.
従って,g>4となるような点において,g>f>4となるような点が存在しないことを示せていない為,fの最大値が4である証明としては不適切だと思います.
かなり不十分ですよ
相加相乗で解けたけど、この手の問題は全てが＝の時が最大になるって予想はつきますね
K=(a,b,c,d)･(bc,ad,ad,bc) という内積とみると,
これが最大になるのは (a,b,c,d)=t(bc,ad,ad,bc) (t>0) となるとき.
a=d=tbc, b=c=tad, a+b=(a+b+c+d)/2=2.
ここで 2=a+b=tad+tbc=t(a²+b²)=t(a²+(2-a)²),
a²+(2-a)²≠0 より t=2/(a²+(2-a)²)=1/(a²-2a+2).
b=ta²=a²/(a²-2a+2) と b=2-a より
2-a=a²/(a²-2a+2) ⇔ a³-3a²+6a-4=0 ⇔ (a-1)(a²-2a+4)=0
a>0なのでa=1, あとは芋づる式にa=b=c=d=1となりK=4が最大とわかる.